search
top

Евклид. Начала

Начала (греч. Στοιχε?α, лат. Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. Начала — вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития и основа для последующих исследований.

научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Начала» Евклида не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Началах» Евклида не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

«Начала» Евклида построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства . Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например «что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (1 постулат); «И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных): «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых». Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н. И.Лобачевского, построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется . За постулатами в «Началах» Евклида приводятся аксиомы — предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например: «Равные одному и тому же равны и между собой» (1-я аксиома); «И целое больше части» (8-я аксиома).

Греческое название книги – «Стойхейя» – исходно обозначало алфавит, а также элементы, в частности, те, из которых состоит мироздание; греки насчитывали четыре элемента – землю, воду, огонь и воздух (рус. «стихия» также происходит от греч. «стойхейя»). Философ-неоплатоник V в. н. э. Прокл в комментариях к «Началам» утверждает, что структура книги отображает устройство космоса: она начинается с самых простых понятий – точки и прямой – чтобы в конце концов придти к учению о правильных многогранниках, которые, согласно философии Платона, лежат в основе структуры мира (четыре элемента имеют формы четырех из пяти правильных многогранников, а весь мир в целом – форму пятого, додекаэдра).

Текст Начал на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев до нас дошёл комментарий, написанный Проклом. Этот текст является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т. н. Евдемов каталог геометров), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах.

Начала оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Книга переведена на множество языков мира. Так, на китайском языке первые 6 книг Начал издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583—1610). По количеству переизданий Начала не имеют себе равных среди светских книг.

Альберт Эйнштейн так оценивал «Начала»: «Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением»

Сочинение Евклида состоит из 15 книг. В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора. Во 2-й книге излагаются основы геометрической алгебры. 3-я книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд. В 4-й книге рассматриваются правильные многоугольники. Книга 5-я и 6-я посвящены теории отношений и ее применению к решению алгебраических задач. Книга 7-я, 8-я и 9-я посвящены теории целых и рациональных чисел. В книге 10-й рассматриваются квадратичные иррациональности. В книге 11-й рассматриваются основы стереометрии. В 12-й книге доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара, выводятся отношения объемов пирамид, конусов, призм и цилиндров. В основу 13-й книги легли результаты, полученные Теэтетом в области правильных многогранников. Книги 14-я и 15-я не принадлежат Евклиду, они были написаны позднее: 14-я — во II в. до н. э., а 15-я — в VI в.

Источник: http://www.gumer.info

Похожие записи:

Нет меток для данной записи.

Комментарии закрыты

top